Regola di Littlewood
Littlewood rule
La condizione di ottimo per dividere una capacità fra due tariffe: si protegge per la tariffa alta la quantità in corrispondenza della quale la probabilità di venderne di più eguaglia il rapporto fra tariffa bassa e tariffa alta.
Che cos’è
Ken Littlewood la formulò nel 1972 lavorando per British Overseas Airways Corporation, e da allora è la base di tutto il controllo di capacità. Il problema che risolve è il più piccolo possibile: due tariffe, una capacità, la domanda della tariffa bassa che arriva prima e quella della tariffa alta che arriva dopo. Quante unità tengo da parte per la tariffa alta.
Il ragionamento è marginale e si fa su una camera sola. Ho già protetto y camere e mi chiedo se protegga anche la successiva. Se la vendo subito alla tariffa bassa incasso f2 con certezza. Se la proteggo, incasserò f1, ma solo se la domanda alta supererà y camere, cosa che accade con probabilità P(D1 maggiore di y). Il valore atteso di proteggere è quindi f1 moltiplicato per quella probabilità.
Conviene proteggere finché il valore atteso è almeno pari all’incasso certo, cioè finché f1 per P(D1 maggiore di y) è maggiore o uguale a f2. Man mano che y cresce la probabilità scende, quindi esiste un punto in cui i due termini si eguagliano. Quel punto è l’ottimo.
Come si calcola
Per passare dalla probabilità al numero di camere serve una distribuzione. Nella pratica si assume che la domanda della classe alta sia normale, con media mu e deviazione standard sigma stimate sullo storico non vincolato. Allora si cerca il valore z della normale standard che lascia a destra una probabilità pari a f2 su f1, e si converte.
Quando il rapporto f2 su f1 è maggiore di 0,5 il valore z è negativo, e la protezione risulta inferiore alla domanda media. È corretto e vale la pena capirlo: se la tariffa bassa vale il 73 per cento di quella alta, non ha senso rischiare di restare vuoti per il 27 per cento di differenza, quindi si protegge meno della domanda attesa.
Hotel 120 camere, sabato di alta stagione, due classi
- Tariffa alta f1
- 158 EUR
- Tariffa bassa f2
- 115 EUR
- Rapporto f2 su f1
- 115 / 158 = 0,7278
- Probabilità richiesta P(D1 maggiore di y)
- 0,7278
- Probabilità a sinistra
- 1 – 0,7278 = 0,2722
- Valore z corrispondente
- -0,606
- Domanda media classe alta mu
- 12 camere
- Deviazione standard sigma
- 4 camere
- y
- 12 + (-0,606 x 4) = 12 – 2,42
- Livello di protezione
- 9,6 camere, si protegge 10
- Booking limit della tariffa a 115 EUR
- 120 – 10 = 110 camere
Come si usa
Littlewood serve anche senza sistema, come strumento di ragionamento. Prendi due tariffe qualsiasi che stai gestendo sulla stessa data, calcola il rapporto e chiediti se la probabilità che ne deriva è plausibile. Con f2 su f1 pari a 0,73 la formula ti sta dicendo: proteggi finché hai almeno il 73 per cento di probabilità di vendere quella camera alla tariffa alta. Se guardando il pickup storico sai che quella probabilità è molto più bassa, stai proteggendo troppo.
La sensibilità è tutta nel rapporto. Con f2 su f1 a 0,90 servirebbe il 90 per cento di probabilità, e la protezione diventa quasi nulla: due tariffe così vicine non si gestiscono con la disponibilità, si gestiscono con il prezzo o con un fence.
Lunedì mattina: prendi le tre coppie di tariffe che generano più volume, calcola il rapporto e ordina le date del prossimo trimestre per probabilità di saturazione. Dove la probabilità stimata è sotto il rapporto, apri tutto.
I controlli per classe pagano solo se stai rifiutando domanda
Questa è la cosa più importante di tutta l area e viene sempre taciuta. Il guadagno della regola di Littlewood rispetto al vendere semplicemente in ordine di arrivo è esattamente zero quando la domanda totale della data resta sotto la capacità. Se hai 120 camere e la domanda complessiva è 96, non esiste protezione che aumenti il ricavo: ogni camera protetta è una camera che rimane vuota. Il valore dei controlli nasce solo dai rifiuti. È l opposto di come vengono venduti gli strumenti di revenue management, ed è la ragione per cui tantissimi albergatori installano un RMS e non vedono alcun effetto: hanno comprato una macchina per allocare scarsità e non hanno scarsità. Su un hotel che chiude l anno al 64 per cento di occupazione, i controlli servono su venti o trenta notti; sulle altre trecento conta solo il prezzo.
Da non confondere con
Littlewood non è il modello del venditore di giornali applicato all’albergo, anche se la matematica è parente. Nel newsvendor decidi quanto stock comprare; qui lo stock è dato dalla struttura e decidi come dividerlo fra due prezzi. La forma della soluzione, un rapporto critico fra due costi, è la stessa; il problema no.
Non è nemmeno EMSR. Littlewood risolve esattamente il caso a due classi; EMSR è l’euristica che estende il ragionamento a quattro o cinque classi, senza garanzia di ottimalità.